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Programme de mathématiques 4e

Classe / Niveau:

I – ORGANISATION ET GESTION DE DONNÉES, FONCTIONS

Objectifs

La résolution de problèmes a pour objectifs :

de consolider et d’enrichir les raisonnements pour traiter des situations de proportionnalité, pour produire ou interpréter des résumés statistiques (moyennes, graphiques), pour analyser la pertinence d’un graphique au regard de la situation étudiée,
d’organiser des calculs ou créer un graphique avec un tableur.

1. Utilisation de la proportionnalité

Connaissances

Quatrième proportionnelle.
Calculs faisant intervenir des pourcentages.
[Thèmes de convergence]

Capacités

Déterminer une quatrième proportionnelle.
Déterminer le pourcentage relatif à un caractère d’un groupe constitué de la réunion de deux groupes dont les effectifs et les pourcentages relatifs à ce caractère sont connus.

2. Proportionnalité

Connaissances

Représentations graphiques.
[Thèmes de convergence]

Capacités

Utiliser dans le plan muni d’un repère, la caractérisation de la proportionnalité par l’alignement de points avec l’origine.

3. Traitement des données

Connaissances

Moyennes pondérées.
[Thèmes de convergence]

Capacités

Calculer la moyenne d’une série de données.
Créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule.
Créer un graphique à partir des données d’une feuille de calcul.

II – NOMBRES ET CALCULS

Objectifs

La résolution de problèmes a pour objectifs :

d’entretenir et d’enrichir la pratique du calcul mental, du calcul à la main et l’utilisation raisonnée des calculatrices ;
d’assurer la maîtrise des calculs sur les nombres relatifs et les expressions numériques ;
de conduire les raisonnements permettant de traiter diverses situations (issues de la vie courante, des différents champs des mathématiques et des autres disciplines, notamment scientifiques) à l’aide de calculs numériques, d’équations ou d’expressions littérales ;
de savoir choisir l’écriture appropriée d’un nombre ou d’une expression littérale suivant la situation.

1. Calcul numérique

Connaissances

Opérations (+, – , × , :) sur les nombres relatifs en écriture décimale.
Produit de nombres positifs en écriture fractionnaire.
Opérations (+, – , × ) sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire (non nécessairement simplifiée).
Division de deux nombresrelatifs en écriture fractionnaire.
Puissances d’exposant entier relatif.
Enchaînement d’opérations.
[Thèmes de convergence]
Notation scientifique.
[Thèmes de convergence]

Capacités

Calculer le produit de nombres relatifs simples.
Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres décimaux (positifs ou négatifs).
Multiplier, additionner et soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Diviser des nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Connaître et utiliser l’égalité : a/b = a × 1/b
Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, des programmes de calcul portant sur des sommes ou des produits de nombres relatifs.
Organiser et effectuer à la main ou à la calculatrice les séquences de calcul correspondantes.
Comprendre les notations aⁿ et a^–n et savoir les utiliser sur des exemples numériques, pour des exposants très simples et pour des égalités telles que :
a² × a³ = a⁵ ;
(ab)² = a²b² ;
a²/a⁵ = a^–3,
où a et b sont des nombres relatifs non nuls.
Utiliser sur des exemples numériques les égalités :
10^m × 10ⁿ = 10^m+n ;
1/10ⁿ = 10^–n
(10 ^m)ⁿ = 10 ^m × ⁿ
où m et n sont des entiers relatifs
Sur des exemples numériques, écrire et interpréter un nombre décimal sous différentes formes faisant intervenir des puissances de 10.
Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur durésultat d’un calcul.

2. Calcul littéral

Connaissances

Développement.
Comparaison de deux nombres relatifs.

Capacités

Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques.
Réduire une expression littérale à une variable, du type : 3x – (4x – 2) , 2x² – 3x + x²... Les situations proposées doivent exclure tout type de virtuosité et viser un objectif précis (résolution d’une équation, gestion d’un calcul numérique, établissement d’un résultat général).
Développer une expression de la forme (a + b) (c + d).
Comparer deux nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire, en particulier connaître et utiliser :
- l’équivalence entre a/b = c/d, et ad = bc (b et d étant non nuls) ;
- l’équivalence entre a = b et a – b = 0 ;
- l’équivalence entre a > b et a – b > 0.
Utiliser le fait que des nombres relatifs de l’une des deux formes suivantes sont rangés dans le même ordre que a et b : a + c et b + c ; a – c et b – c
Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ac et bc sont dans le même ordre (respectivement l’ordre inverse) que a et b si c est strictement positif (respectivement négatif).
Écrire des encadrements résultant de la troncature ou de l’arrondi à un rang donné d’un nombre positif en écriture décimale ou provenant de l’affichage d’un résultat sur une calculatrice (quotient ...).

3. Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue

Capacités

Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

III – GÉOMÉTRIE

Objectifs

La résolution de problèmes a pour objectifs :

de connaître les objets usuels du plan et de l’espace et d’utiliser leurs propriétés géométriques et les relations métriques associées ;
de développer les capacités heuristiques et de conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples utilisant les propriétés des figures usuelles, les symétries, les relations métriques, les angles ou les aires ;
d’entretenir en l’enrichissant la pratique des constructions géométriques (aux instruments et à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique) et des raisonnements sous-jacents ;
d’initier les élèves à la démonstration ;
de poursuivre la familiarisation avec les représentations planes des solides de l’espace ;
de s’initier aux propriétés laissées invariantes par un agrandissement ou une réduction de figure.

1. Figures planes

Connaissances

Triangle : milieux et parallèles.
Triangles déterminés par deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine.
Triangle rectangle : théorème de Pythagore.
Triangle rectangle : cosinus d’un angle.
Triangle rectangle : cercle circonscrit.
Distance d’un point à une droite.
Tangente à un cercle.
Bissectrice d’un angle.
[reprise des programmes antérieurs]
Bissectrices et cercle inscrit.

Capacités

Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d’un triangle.
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine.
Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore.
Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres.
Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d’un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents.
Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée :
- du cosinus d’un angle aigu donné ;
- de l’angle aigu dont le cosinus est donné.
Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle.
Caractériser les points d’un cercle de diamètre donné par la propriété de l’angle droit.
Savoir que le point d’une droite le plus proche d’un point donné est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite.
Construire la tangente à un cercle en l’un de ses points.
Connaître et utiliser la définition de la bissectrice.
Utiliser différentes méthodes pour tracer :
• la médiatrice d’un segment ;
• la bissectrice d’un angle.
Caractériser les points de la bissectrice d’un angle donnée par la propriété d’équidistance aux deux côtés de l’angle.
Construire le cercle inscrit dans un triangle.

2. Configurations dans l’espace

Connaissances

Pyramide et cône de révolution.

Capacités

Réaliser le patron d’une pyramide de dimensions données.

Commentaires

L’observation et la manipulation d’objets constituent des points d’appui indispensables. Ces activités doivent être complétées par l’observation et la manipulation d’images dynamiques données par des logiciels de géométrie.
Les activités sur les pyramides exploitent des situations simples. L’objectif est toujours d’apprendre à voir dans l’espace, ce qui implique un large usage des représentations en perspective et la réalisation de patrons. Ces travaux permettent de consolider les images mentales relatives à des situations d’orthogonalité.

3. Agrandissement et réduction

Capacités

- Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et de celles de la figure à obtenir.

Commentaires

Des activités de construction (avec éventuellement l’utilisation de logiciels de construction géométrique) permettent aux élèves de mettre en évidence et d’utiliser quelques propriétés :
conservation des angles (et donc de la perpendicularité) et du parallélisme, multiplication des longueurs par le facteur k d’agrandissement ou de réduction...
Certains procédés de construction peuvent être analysés en utilisant le théorème de Thalès dans le triangle.

IV – GRANDEURS ET MESURES

Objectifs

La résolution de problèmes a pour objectifs :

d’initier les élèves à des grandeurs quotient,
de compléter les connaissances et consolider les raisonnements permettant de calculer les grandeurs travaillées antérieurement (longueurs, angles, aires, volumes),
de savoir choisir les unités adaptées et d’effectuer les changements d’unités.

1. Aires et volumes

Connaissances

Calculs d’aires et volumes.

Capacités

Calculer le volume d’une pyramide et d’un cône de révolution à l’aide de la formule :
V = 1/3 Bh

Commentaires

L’objectif est, d’une part, d’entretenir les acquis des classes antérieures et, d’autre part, de manipuler de nouvelles formules, en liaison avec la pratique du calcul littéral.

2. Grandeurs quotients courantes

Connaissances

Vitesse moyenne.
[Thèmes de convergence]

Capacités

Calculer des distances parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l’égalité d = vt.
Changer d’unités de vitesse (mètre par seconde et kilomètre par heure).

Commentaires

La notion de vitesse moyenne est définie.
Le vocabulaire « kilomètre par heure » et la notation km/h, issus de la vie courante, sont à mettre en relation avec la notation km.h^-1
Les compétences exigibles ne concernent que les vitesses mais d’autres situations de changement d’unités méritent d’être envisagées : problème de change monétaire, débit, consommation de carburant en litres pour 100 kilomètres ou en kilomètres parcourus par litre.