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Programme de mathématiques 3e

Classe / Niveau:

À la fin de cette classe terminale du collège, la maîtrise par les élèves de plusieurs types de savoirs est visée :

dans le domaine des nombres et du calcul : calcul numérique (nombres entiers, décimaux et fractionnaires, relatifs ou non, proportionnalité) et premiers éléments de calcul littéral ;
dans le domaine de l’organisation et la gestion de données : premiers éléments de base en statistique descriptive et en probabilité ;
dans le domaine géométrique : figures de base et propriétés de configurations du plan et de l’espace ;
dans le domaine des grandeurs et de la mesure : grandeurs usuelles, grandeurs composées et changements d’unités ;
dans le domaine des TICE : utilisation d’un tableur-grapheur et d’un logiciel de construction géométrique.

I – ORGANISATION ET GESTION DE DONNÉES, FONCTIONS

1. Notion de fonction

Connaissances

Image, antécédent, notations f (x), x ® f (x).
[Thèmes de convergence]

Capacités

Déterminer l’image d’un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule.
Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.

2. Fonction linéaire, fonction affine.

Connaissances

Proportionnalité.
Fonction linéaire.
Coefficient directeur de la droite représentant une fonction linéaire.
Fonction affine.
Coefficient directeur et ordonnée à l’origine d’une droite représentant une fonction affine.
[Thèmes de convergence]

Capacités

Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné et l’antécédent d’un nombre donné.
Déterminer l’expression algébrique d’une fonction linéaire à partir de la donnée d’un nombre non nul et de son image.
Représenter graphiquement une fonction linéaire.
Connaître et utiliser la relation y = ax entre les coordonnées (x,y) d’un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction linéaire x→ax.
Lire et interpréter graphiquement le coefficient d’une fonction linéaire représentée par une droite.
Déterminer par le calcul l’image d’un nombre donné et l’antécédent d’un nombre donné.
Connaître et utiliser la relation y = ax + b entre les coordonnées (x,y) d’un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction linéaire x→ ax + b.
Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images.
Représenter graphiquement une fonction affine.
Lire et interpréter graphiquement les coefficients d’une fonction affine représentée par une droite.
Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère.

3. Statistiques

Connaissances
Caractéristiques de position.
Approche de caractéristiques de dispersion.
[Thèmes de convergence]

Capacités

Une série statistique étant donnée (sous forme de liste ou de tableau ou par une représentation graphique) :
- déterminer une valeur médiane de cette série et en donner la signification ;
- déterminer des valeurs pour les premier et troisième quartiles et en donner la signification ;
- déterminer son étendue.
Exprimer et exploiter les résultats de mesures d’une grandeur.

4. Notion de probabilité

[Thèmes de convergence]

Capacités

Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité.
Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

II – NOMBRES ET CALCULS

1. Nombres entiers et rationnels

Connaissances

Diviseurs communs à deux entiers, PGCD.
Fractions irréductibles.
Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.
[Reprise du programme du cycle central]

Capacités

Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers (algorithme des soustractions, algorithme d’Euclide).
Calculer le PGCD de deux entiers.
Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.
Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.

2. Calculs élémentaires sur les radicaux

Connaissances

Racine carrée d’un nombre positif.
Produit et quotient de deux radicaux.

Capacités

Savoir que, si a désigne un nombre positif, √a est le nombre positif dont le carré est a et utiliser les égalités : (√a)² = a ; √a² = a
Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x² = a, où a est un nombre positif.
Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités :
√ab= √ax √b,
√a/b = √a/√b (b non nul).

3. Écritures littérales

Connaissances

Puissances.
[Thèmes de convergence]
Factorisation.
Identités remarquables.

Capacités

- Utiliser sur des exemples les égalités :

a^m.aⁿ = a^m+n ;
a^m/aⁿ = a^m-n
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
où a et b sont des nombres non nuls et m et n des entiers relatifs.

- Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur est apparent.

- Connaître les identités :

(a + b)(a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²-

- Les utiliser dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples.

4. Équations et inéquations du premier degré

Connaissances

Problèmes du premier degré : inéquation du premier degré à une inconnue, système de deux équations à deux inconnues.
Problèmes se ramenant au premier degré : équations produits.

Capacités

Mettre en équation un problème.
Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques ; représenter ses solutions sur une droite graduée.
Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique.

III – GÉOMÉTRIE

1. Figures planes

Connaissances

Triangle rectangle, relations trigonométriques.
Configuration de Thalès.
Agrandissement et réduction.
[Reprise du programme de 4e]
Angle inscrit, angle au centre.
Polygones réguliers.

Capacités

Connaître et utiliser les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux des côtés d’un triangle rectangle.
Déterminer, à l’aide de la calculatrice, des valeurs approchées :
- du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné ;
- de l’angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente.
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes.
Connaître et utiliser un énoncé réciproque.
Il s’agit de prolonger l’étude commencée en classe de quatrième qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun.
Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles et la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir.
Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l’angle au centre qui intercepte le même arc.
Construire un triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier, un octogone connaissant son centre et un sommet.

2. Configurations dans l’espace

Connaissances

Problèmes de sections planes de solides.
Sphère, centre, rayon.
Sections planes d’une sphère.
[Thèmes de convergence]

Capacités

Connaître et utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête.
Connaître et utiliser la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe.
Connaître et utiliser les sections d’un cône de révolution et d’une pyramide par un plan parallèle à la base.
Connaître la nature de la section d’une sphère par un plan.
Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère.
Représenter la sphère et certains de ses grands cercles.

IV – GRANDEURS ET MESURES

1. Aires et volumes

Connaissances

Calculs d’aires et volumes.
Effet d’une réduction ou d’un agrandissement.

Capacités

Calculer l’aire d’une sphère de rayon donné.
Calculer le volume d’une boule de rayon donné.
Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k :
- l’aire d’une surface est multipliée par k²,
- le volume d’un solide est multiplié par k³.

2. Grandeurs composées, changement d’unités

Connaissances

Vitesse moyenne.
[Thèmes de convergence]

Capacités

Effectuer des changements d’unités sur des grandeurs produits ou des grandeurs quotients.